Nach Definition ist

${\displaystyle {}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.}$

Die Ableitung nach ${\displaystyle {}x}$ ist aufgrund von Fakt und Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich

${\displaystyle {}{\left(x^{\alpha }\right)}'={\left(\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\right)}'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.}$