Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ ein irreduzibles Polynom mit dem zugehörigen Primideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(F)\in \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Q} [X]\right)}\subseteq \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}\,,}$

wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]\rightarrow \mathbb {Q} [X]}$ im Sinne von Fakt  (3) gehört. Zeige, dass der Abschluss von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} [X]\right)}}$ gleich ${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}})}$ mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left\{qF\mid q\in \mathbb {Q} ,\,qF\in \mathbb {Z} [X]\right\}}\,}$

ist. Zeige ferner, dass zu isomorphen Restekörpern ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}}_{1})}$ und ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}}_{2})}$ die Restklassenringe ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}_{1}}$ und ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}_{2}}$