Es sei ${\displaystyle {}f\in \mathbb {C} [X]}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, und ${\displaystyle {}a\in \mathbb {C} }$. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit ${\displaystyle {}f^{(k)}(a)=0}$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in der Zerlegung von ${\displaystyle {}f}$.
3. Die Ordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Lokalisierung ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X]_{(X-a)}}$ von ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X]}$ am maximalen Ideal ${\displaystyle {}(X-a)}$.