Beweis

Sei ${\displaystyle {}ph=fg}$. Wir nehmen an, dass ${\displaystyle {}p}$ weder ${\displaystyle {}f}$ noch ${\displaystyle {}g}$ teilt. Dann teilt ${\displaystyle {}p}$ nicht alle Koeffizienten von ${\displaystyle {}f}$ und von ${\displaystyle {}g}$. Es sei ${\displaystyle {}f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}$ und ${\displaystyle {}g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}}$ und es seien ${\displaystyle {}i_{0}}$ bzw. ${\displaystyle {}j_{0}}$ die kleinsten Indizes derart, dass ${\displaystyle {}a_{i_{0}}}$ (bzw. ${\displaystyle b_{j_{0}}}$) kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ${\displaystyle {}p}$). Wir betrachten den ${\displaystyle {}(i_{0}+j_{0})}$-ten Koeffizienten von ${\displaystyle {}fg}$, dieser ist

${\displaystyle c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}}$

Die Summanden links sind Vielfache von ${\displaystyle {}p}$ aufgrund der Wahl von ${\displaystyle {}i_{0}}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von ${\displaystyle {}p}$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist, muss auch der mittlere Summand ${\displaystyle {}a_{i_{0}}b_{j_{0}}}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ sein. Da ${\displaystyle {}p}$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.