Die angegeben Potenzen sind offenbar Teiler von ${\displaystyle {}X^{n}}$. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$. Als Teiler kommen nur Polynome in Frage, deren Grad kleiner/gleich ${\displaystyle {}n}$ ist. Sei ${\displaystyle {}n=1}$. Eine Faktorzerlegung in normierte Polynome muss die Form

${\displaystyle {}X=(X+a)\cdot 1\,}$

haben, was ${\displaystyle {}a=0}$ erzwingt. Sei nun ${\displaystyle {}n}$ beliebig und eine Faktorzerlegung

${\displaystyle {}X^{n}=P\cdot Q\,}$

in normierte Polynome ${\displaystyle {}P,Q}$ vorgegeben. Da ${\displaystyle {}0}$ eine Nullstelle links ist, muss ${\displaystyle {}P(0)=0}$ oder ${\displaystyle {}Q(0)=0}$ sein. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Fakt ist ${\displaystyle {}X}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}P}$ und somit ist

${\displaystyle {}X^{n}=({\tilde {P}}X)\cdot Q\,.}$

Da ${\displaystyle {}K[X]}$ nullteilerfrei ist, folgt

${\displaystyle {}X^{n-1}={\tilde {P}}\cdot Q\,}$