Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen

${\displaystyle {}I={\left\{Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\mid Q_{i}\in K[X]\right\}}\,.}$

Dies ist ein Ideal von ${\displaystyle {}K[X]}$, wie man direkt überprüft. Nach Fakt ist dieses Ideal ein Hauptideal, also

${\displaystyle {}I=(E)\,}$

mit einem gewissen Polynom ${\displaystyle {}E}$. Es ist ${\displaystyle {}E}$ ein gemeinsamer Teiler der ${\displaystyle {}P_{i}}$. Wegen ${\displaystyle {}P_{i}\in I=(E)}$ ist nämlich

${\displaystyle {}P_{i}=H_{i}E\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}E}$ ist ein Teiler von jedem ${\displaystyle {}P_{i}}$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist

${\displaystyle {}P_{i}\in (G)\,}$

für alle ${\displaystyle {}i}$ und damit auch

${\displaystyle {}(E)=I\subseteq (G)\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}E=GF\,.}$

Da nach Voraussetzung ${\displaystyle {}G}$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss ${\displaystyle {}F\neq 0}$ eine Konstante sein. Also ist

${\displaystyle {}(G)=(E)=I\,}$

und insbesondere ${\displaystyle {}G\in I}$. Also ist ${\displaystyle {}G}$ eine Linearkombination der ${\displaystyle {}P_{i}}$.