Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper und ${\displaystyle {}R=K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Sei

${\displaystyle {}P={\left\{F\in K[X]\mid {\text{Der Leitkoeffizient von }}F{\text{ ist positiv}}\right\}}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt.

1. Entweder ist ${\displaystyle {}F\in P}$ oder ${\displaystyle {}-F\in P}$ oder ${\displaystyle {}F=0}$.
2. Aus ${\displaystyle {}F,G\in P}$ folgt ${\displaystyle {}F+G\in P}$.
3. Aus ${\displaystyle {}F,G\in P}$ folgt ${\displaystyle {}F\cdot G\in P}$.