Es ist ${\displaystyle {}F\in {\mathfrak {m}}^{n}}$. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${\displaystyle {}G\in K[X,Y]}$ mit ${\displaystyle {}G\in {\mathfrak {m}}^{n-m}}$. Dann ist ${\displaystyle {}FG\in {\mathfrak {m}}^{n-m}\cdot {\mathfrak {m}}^{m}={\mathfrak {m}}^{m}}$. Also gehört ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{m-n}}$ zum Kern der Gesamtabbildung

${\displaystyle K[X,Y]{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}.}$

Nach dem Satz vom induzierten Homomorphismus gibt es somit einen ${\displaystyle {}K[X,Y]}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}.}$

Zum Nachweis der Injektivität sei ${\displaystyle {}G\in K[X,Y]}$ mit ${\displaystyle {}FG=0}$ in ${\displaystyle {}K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}}$, also ${\displaystyle {}FG\in {\mathfrak {m}}^{n}}$. Wäre ${\displaystyle {}G\notin {\mathfrak {m}}^{n-m}}$, so würde in ${\displaystyle {}G}$ ein Monom ${\displaystyle {}X^{i}Y^{j}}$ vom Grad ${\displaystyle {}i+j<n-m}$ (mit einem von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenen Koeffizienten)

${\displaystyle {}FG=F_{m}G+\cdots +F_{d}G}$

${\displaystyle {}<m}$

${\displaystyle {}FG\notin {\mathfrak {m}}^{n}}$