Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

${\displaystyle {}f(x)=x^{3}-4x^{2}={\sqrt {42}}\,.}$

Es ist ${\displaystyle {}f(0)=0}$ und ${\displaystyle {}f(5)=25}$ und ${\displaystyle {}0\leq {\sqrt {42}}\leq 25}$. Da ${\displaystyle {}f}$ als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {}f(x)={\sqrt {42}}}$