Die Ableitung schickt die Basiselemente auf

${\displaystyle x^{0}=1\mapsto 0,\,x^{1}\mapsto 1,\,x^{2}\mapsto 2x,\,x^{3}\mapsto 3x^{2},\,x^{4}\mapsto 4x^{3}.}$

Daraus sind direkt die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis abzulesen. In der beschreibenden Matrix stehen in den Spalten die Koeffizienten der Bildvektoren. Daher lautet die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&4\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Polynomen vom Grad ${\displaystyle {}\leq 3}$. Dieser Untervektorraum besitzt die Basis ${\displaystyle {}x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}$ und hat demnach die Dimension ${\displaystyle {}4}$.

${\displaystyle {}x^{0}}$