Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ${\displaystyle {}b_{j}=0}$ ist für alle ${\displaystyle {}j\neq i}$. Dann ist

${\displaystyle (X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})}$

ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n-1}$, das an den Stellen ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}$ den Wert ${\displaystyle {}0}$ hat. Das Polynom

${\displaystyle {\frac {b_{i}}{(a_{i}-a_{1})\cdots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\cdots (a_{i}-a_{n})}}(X-a_{1})\cdots (X-a_{i-1})(X-a_{i+1})\cdots (X-a_{n})}$

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei ${\displaystyle {}a_{i}}$ den Wert ${\displaystyle {}b_{i}}$. Nennen wir dieses Polynom ${\displaystyle {}P_{i}}$. Dann ist

${\displaystyle {}P=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}\,}$

das gesuchte Polynom. An der Stelle ${\displaystyle {}a_{i}}$ gilt ja

${\displaystyle {}P_{j}(a_{i})=0\,}$

für ${\displaystyle {}j\neq i}$ und ${\displaystyle {}P_{i}(a_{i})=b_{i}}$.

Die Eindeutigkeit folgt aus Fakt.