Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom ${\displaystyle {}P}$ vom Grad ${\displaystyle {}\leq n-1}$ mit ${\displaystyle {}P(a_{i})=b_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$. Wir betrachten das Polynom

${\displaystyle {}R=(X-a_{1})(X-a_{2})\cdots (X-a_{n})\,.}$

Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n}$, das an den Stellen ${\displaystyle {}a_{i}}$ den Wert ${\displaystyle {}0}$ annimmt. Deshalb ist

${\displaystyle {}Q:=P+R\,}$

ein normiertes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}Q(a_{i})=P(a_{i})+R(a_{i})=b_{i}\,,}$

womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}Q'}$ normierte Polynome vom Grad ${\displaystyle {}n}$ mit ${\displaystyle {}Q(a_{i})=b_{i}=Q'(a_{i})}$. Dann besitzt ${\displaystyle {}Q-Q'}$ einen Grad ${\displaystyle {}\leq n-1}$, das an den ${\displaystyle {}n}$ Stellen den Wert ${\displaystyle {}0}$ besitzt. Deshalb ist es nach Fakt das Nullpolynom und somit ist

${\displaystyle {}Q=Q'}$