Es sei

${\displaystyle {}P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,}$

(mit ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$). Wir setzen ${\displaystyle {}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}}$ und ${\displaystyle {}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}}$. Bei ${\displaystyle {}n=0}$ ist die Aussage klar, sei also ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Für ${\displaystyle {}z}$ mit ${\displaystyle {}\vert {z}\vert \geq r}$ gelten die Abschätzungen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}}$

Auf der kompakten Menge ${\displaystyle {}B(0,r)}$ nimmt die stetige Funktion ${\displaystyle {}z\mapsto \vert {P(z)}\vert }$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}w\in B(0,r)}$ mit ${\displaystyle {}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert }$ für alle ${\displaystyle {}z\in B(0,r)}$. Wegen ${\displaystyle {}\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert }$ und der Überlegung für ${\displaystyle {}z}$ mit

${\displaystyle {}\vert {z}\vert \geq r\,}$

ergibt sich, dass im Punkt ${\displaystyle {}w}$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.