Die Transposition ${\displaystyle {}\tau }$ vertausche die beiden Zahlen ${\displaystyle {}k<\ell }$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\tau )&=\prod _{i<j}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{i<j,\,i,j\neq k,\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j\neq \ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i\neq k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{j>k,\,j\neq \ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{i\neq k,\,i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot {\frac {k-\ell }{\ell -k}}\\&=\prod _{j>\ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{i<k}{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot \prod _{k<j<\ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{k<i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot (-1)\\&=-1.\end{aligned}}}$

Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, so dass sich diese (wegen der gleichen Indexmenge) Minuszeichen wegkürzen.

Die Aussage folgt dann aus der Homomorphieeigenschaft.