Es gelte

${\displaystyle {}qd+r=q'd+r'\,}$

mit

${\displaystyle {}0\leq r,r'<d\,.}$

Ohne Einschränkung können wir ${\displaystyle {}q'\geq q}$ annehmen. Dann ist

${\displaystyle {}q'=q+u\,}$

mit einem ${\displaystyle {}u\in M}$ und somit ist

${\displaystyle {}qd+r=q'd+r'=(q+u)d+r'=qd+ud+r'\,.}$

Aufgrund der Abziehregel ergibt sich

${\displaystyle {}r=ud+r'\,.}$

Bei ${\displaystyle {}u\neq 0}$ ist ${\displaystyle {}u\geq 1}$ nach Fakt. Dann ergibt sich der Widerspruch

${\displaystyle {}d=ud+r'\geq ud\geq d\,}$

wegen der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation. (siehe Fakt). Also ist ${\displaystyle {}u=0}$ und damit ${\displaystyle {}q'=q}$ und

${\displaystyle {}r'=r}$