Es sei ${\displaystyle {}(M,0,N)}$ ein Modell für die Peano-Axiome für den Nachfolger.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}N}$ fixpunktfrei ist, d.h. dass

   ${\displaystyle {}N(x)\neq x\,}$

   für alle ${\displaystyle {}x\in M}$.

2. Zeige, dass ${\displaystyle {}N}$ periodenfrei ist. D.h. für jedes ${\displaystyle {}\ell \in \mathbb {N} _{+}}$ ist

   ${\displaystyle {}N^{\ell }(x)\neq x\,,}$

   wobei

   ${\displaystyle {}N^{\ell }=N\circ \cdots \circ N\,}$

   die ${\displaystyle {}\ell }$-fache Hintereinanderschaltung von ${\displaystyle {}N}$ bedeutet.