Wir verwenden durchgehend Fakt, das besagt, dass ${\displaystyle {}k!S({n},{k})}$ gleich der Anzahl der surjektiven Abbildungen einer ${\displaystyle {}n}$-elementigen Menge in eine ${\displaystyle {}k}$-elementige Menge ist.

1. Dies folgt aus Fakt.
2. Nach Fakt ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer ${\displaystyle {}n}$-elementigen Menge in eine ${\displaystyle {}k}$-elementige Menge gleich

   ${\displaystyle \sum _{(a_{1},\ldots ,a_{k}):\,a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=n,\,a_{j}\geq 1}1^{a_{1}}2^{a_{2}}\cdots k^{a_{k}}.}$

   Wenn man diesen Ausdruck durch ${\displaystyle {}k!}$ dividiert, und überall ${\displaystyle {}c_{j}=a_{j}-1}$ ersetzt, so erhält man die Behauptung.

3. Dies ergibt sich aus Teil (2). Zu einem Tupel ${\displaystyle {}(i_{1},\ldots ,i_{n-k})}$ der Indexmenge aus Teil (3) definiert man

   ${\displaystyle {}c_{j}:={\#\left({\left\{s\mid i_{s}=j\right\}}\right)}\,}$

   für ${\displaystyle {}j=1,\ldots ,k}$. Umgekehrt definiert man zu einem Tupel ${\displaystyle {}(c_{1},\ldots ,c_{k})}$ der Indexmenge aus Teil (2) die Zahlen

   ${\displaystyle {}i_{t}=j\,}$

   für ${\displaystyle {}t}$ zwischen ausschließlich ${\displaystyle {}c_{1}+\cdots +c_{j-1}}$ und einschließlich ${\displaystyle {}c_{1}+\cdots +c_{j-1}+c_{j}}$. Diese Zuordnungen sind invers zueinander und die aufzusummierenden Produkte stimmen überein.

4. Dies folgt aus Fakt.