Der Induktionsanfang ${\displaystyle {}n=2}$ folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Sei also die Aussage für ein gewisses ${\displaystyle {}n\geq 2}$ schon bewiesen und es liegen ${\displaystyle {}n+1}$ Elemente mit den Abschätzungen

${\displaystyle {}a_{1}\preccurlyeq a_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,}$

und

${\displaystyle {}a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,}$

vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch

${\displaystyle {}a_{n}\preccurlyeq a_{1}\,}$

und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also

${\displaystyle {}a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}a_{n}\preccurlyeq a_{n+1}\,}$

und

${\displaystyle {}a_{n+1}\preccurlyeq a_{1}\,}$

${\displaystyle {}a_{n+1}}$