Es sei ${\displaystyle {}a}$ ein Diagonalelement und es sei ${\displaystyle {}k}$ der kleinste Index mit

${\displaystyle {}d_{k}=a\,.}$

Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor

${\displaystyle {}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\neq 0\,}$

mit

${\displaystyle {}Mx=ax\,}$

gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit

${\displaystyle {}x_{k}=1\,}$

und

${\displaystyle {}x_{i}=0\,}$

für ${\displaystyle {}i>k}$. Damit sind die ${\displaystyle {}i}$-ten Zeilen zu ${\displaystyle {}Mx=ax}$ für ${\displaystyle {}i>k}$ erfüllt. Die unteren Zeilen werden (wir schreiben

${\displaystyle {}M=(d_{ij}\,}$

und ${\displaystyle {}d_{ii}=d_{i}}$) zum Gleichungssystem

${\displaystyle {}d_{1}x_{1}+\cdots +d_{1k}x_{k}=d_{k}x_{1}\,,}$

${\displaystyle {}d_{2}x_{2}+\cdots +d_{2k}x_{k}=d_{k}x_{2}\,,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {}d_{k-1}x_{k-1}+d_{k-1\,k}x_{k}=d_{k}x_{k-1}\,,}$

${\displaystyle {}d_{k}x_{k}=d_{k}x_{k}\,}$

bzw. zum linearen Gleichungssystem

${\displaystyle {}(d_{1}x_{1}-d_{k})+\cdots +d_{1k}x_{k}=0\,,}$

${\displaystyle {}(d_{2}x_{2}-d_{k})+\cdots +d_{2k}x_{k}=0\,,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {}(d_{k-1}-d_{k})x_{k-1}+d_{k-1\,k}x_{k}=0\,,}$

${\displaystyle {}(d_{k}-d_{k})x_{k}=0\,.}$

Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit ${\displaystyle {}x_{k}=1}$ erfüllt. Da

${\displaystyle {}d_{i}\neq d_{k}\,}$

ist für ${\displaystyle {}i<k}$, ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm

${\displaystyle {}d_{i}-d_{k}\neq 0\,}$

für ${\displaystyle {}i<k}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden. Nach Fakt kann man also ${\displaystyle {}x_{k}=1}$