(1) ist trivial.
(2). Sei ${\displaystyle {}x\in L}$ mit dem Minimalpolynom ${\displaystyle {}F}$, das den Grad ${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}2}$ besitzt. In ${\displaystyle {}L[X]}$ besitzt ${\displaystyle {}F}$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.
(3). Zu jedem ${\displaystyle {}x\in L}$ gibt es ein Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X]}$, ${\displaystyle {}F\neq 0}$, mit ${\displaystyle {}F(x)=0}$, das über ${\displaystyle {}L[X]}$ zerfällt. Wegen ${\displaystyle {}K[X]\subseteq M[X]}$ gilt diese Eigenschaft auch für ${\displaystyle {}M\subseteq L}$.
(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ und einer Primzahlpotenz ${\displaystyle {}q=p^{e}}$ betrachten. Jedes Element ${\displaystyle {}x\in {\mathbb {F} }_{q}}$ ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms ${\displaystyle {}X^{q}-X}$, so dass dieses Polynom über ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ zerfällt.