a) Nach Fakt ist eine ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrix genau dann nilpotent, wenn ihr charakteristisches Polynom gleich ${\displaystyle {}T^{2}}$ ist. Für die gegebene Matrix ist das charakteristische Polynom gleich

${\displaystyle {}\det TE_{2}-{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}T-x&-y\\-z&T-w\end{pmatrix}}=T^{2}-(x+w)T+xw-zy\,.}$

Die Matrix ist also genau dann nilpotent, wenn die beiden Gleichungen

${\displaystyle {}x+w=0\,}$

und

${\displaystyle {}xw=zy\,}$

erfüllt sind.

b) Die Gleichung

${\displaystyle {}x+w=0\,}$

ist offenbar linear (die Koeffizienten bezüglich ${\displaystyle {}x,y,z,w}$ sind ${\displaystyle {}1,0,0,1}$), die Gleichung

${\displaystyle {}xw=zy\,}$

ist nicht linear, da die Variablen nicht mit einem festen Element aus ${\displaystyle {}K}$ als Koeffizient in die Gleichung eingehen.