Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon R\rightarrow \mathbb {C} [T]}$ mit ${\displaystyle {}X\mapsto T^{2}}$ und ${\displaystyle {}Y\mapsto T^{3}}$. Das Erweiterungsideal zu ${\displaystyle {}(X-1,Y-1)}$ ist

${\displaystyle {}(T^{2}-1,T^{3}-1)=(T-1)(T+1),(T-1)(T^{2}+T+1))\,.}$

Als Radikal ist dies ${\displaystyle {}(T-1)}$, da ${\displaystyle {}1}$ die einzige gemeinsame Nullstelle der beiden Polynome ist (Hilbertscher Nullstellensatz; hier gilt aber auch Idealgleichheit). Wenn das Ideal ${\displaystyle {}(X-1,Y-1)}$ durch eine einzige Funktion ${\displaystyle {}f\in R}$ bis auf Radikal beschrieben wird, so gilt dies auch in ${\displaystyle {}\mathbb {C} [T]}$, und dies bedeutet

${\displaystyle {}\varphi (f)=(T-1)^{n}=\pm 1^{n}\pm nT\pm \cdots +T^{n}\,}$

für ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {C} [T]}$ besitzt aber ${\displaystyle {}f}$ die Gestalt

${\displaystyle {}\varphi (f)=a_{0}+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\cdots +a_{d}T^{d}\,.}$