Wir führen Induktion nach ${\displaystyle {}n}$. Bei ${\displaystyle {}n=0}$ ist ${\displaystyle {}0\cdot k=0}$ nach Fakt  (1). Also ist

${\displaystyle {}0=m\cdot k\,}$

und wegen ${\displaystyle {}k\neq 0}$ folgt mit Fakt daraus ${\displaystyle {}m=0=n}$. Sei die Aussage für ein ${\displaystyle {}n}$ (und beliebige ${\displaystyle {}k\neq 0}$ und ${\displaystyle {}m}$) bewiesen. Die Aussage ist für den Nachfolger ${\displaystyle {}n'}$ zu zeigen. Die Bedingung

${\displaystyle {}n'\cdot k=m\cdot k\,}$

kann bei ${\displaystyle {}m=0}$ wegen Fakt nicht gelten. Also ist ${\displaystyle {}m}$ ein Nachfolger, sagen wir ${\displaystyle {}m=\ell '}$. Somit ist

${\displaystyle {}n\cdot k+k=n'\cdot k=m\cdot k=\ell '\cdot k=\ell \cdot k+k\,.}$

Aus der Abziehregel folgt

${\displaystyle {}n\cdot k=\ell \cdot k\,}$

und aus der Induktionsvoraussetzung folgt

${\displaystyle {}n=\ell \,,}$

also

${\displaystyle {}n'=\ell '=m\,.}$