Es ist

${\displaystyle {}X^{3}=Y^{2}=X^{5}\,}$

und somit muss in einem Schnittpunkt

${\displaystyle {}X^{5}-X^{3}=X^{3}(X^{2}-1)=X^{3}(X-1)(X+1)=0\,}$

sein. Dies ergibt für die ${\displaystyle {}X}$-Koordinate die Möglichkeiten

${\displaystyle {}X=0,1-1\,.}$

Dies führt auf die Schnittpunkte

${\displaystyle (0,0),\,(1,1),\,(1,-1),\,(-1,-{\mathrm {i} }),\,(-1,-{\mathrm {i} }).}$

Wir berechnen die Schnittmultiplizität über die Dimension von

${\displaystyle (K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3},X^{3}(1-X^{2})))_{\mathfrak {m}}}$

zu den verschiedenen maximalen Idealen. Bei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y)}$ geht es um den Ring

${\displaystyle {}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2}-X^{3},X^{3})=K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y^{2},X^{3})\,}$

und ${\displaystyle {}1,X,X^{2},Y,YX,YX^{2}}$ ist eine ${\displaystyle {}K}$-Basis dieses Ringes, die Schnittmultiplizität ist also ${\displaystyle {}6}$. Bei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X-1,Y-1)}$ ist

${\displaystyle {}Y^{2}-X^{3}=-(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+1)(Y-1)\,}$

und

${\displaystyle {}X^{5}-X^{3}=X^{3}(X+1)(X-1)\,,}$

wobei die Koeffizientenpolynome im lokalen Ring ${\displaystyle {}K[X,Y]_{\mathfrak {m}}}$ Einheiten sind. Also ist die Schnittmultiplizität gleich ${\displaystyle {}1}$. Ebenso ist bei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y+1)}$ die Schnittmultiplizität gleich ${\displaystyle {}1}$. Bei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X+1,Y\pm {\mathrm {i} })}$ ist

${\displaystyle {}Y^{2}-X^{3}=(X^{2}+X+1)(X-1)+(Y+{\mathrm {i} })(Y-{\mathrm {i} })\,}$

und nach dem gleichen Argument wie zuvor ist die Schnittmultiplizität gleich ${\displaystyle {}1}$.

Um die Schnittpunkte im Projektiven zu bestimmen, betrachten wir die homogenen Polynome ${\displaystyle {}ZY^{2}-X^{3}}$ und ${\displaystyle {}Z^{3}Y^{2}-X^{5}}$ und setzen ${\displaystyle {}Z=0}$. Dies ergibt den einzigen weiteren Schnittpunkt ${\displaystyle {}(0,1,0)}$ (in homogenen Koordinaten). Zur Berechnung der Schnittmultiplizität setzen wir ${\displaystyle {}Y=1}$ und müssen den Ring

${\displaystyle {}K[X,Z]/(Z-X^{3},Z^{3}-X^{5})=K[X]/(X^{5}-X^{9})\,}$

betrachten. Dessen ${\displaystyle {}K}$-Dimension ist ${\displaystyle {}5}$, was somit die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist.