Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein Monoid, ${\displaystyle {}a,b\in M}$ und ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {N} }$. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. ${\displaystyle {}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.}$

2. ${\displaystyle {}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.}$

3. Wenn ${\displaystyle {}M}$ kommutativ ist, so ist

   ${\displaystyle {}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.}$