Wenn ${\displaystyle {}m}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}M}$ ist, so gibt es ein ${\displaystyle {}n\in M}$ mit ${\displaystyle {}m+n=0}$. Dann ist

${\displaystyle {}T^{m}\cdot T^{n}=T^{m+n}=T^{0}=1\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}T^{m}}$ eine Einheit im Monoidring.

Wenn ${\displaystyle {}T^{m}}$ eine Einheit im Monoidring ist, so gibt es eine Element

${\displaystyle {}P=\sum _{n\in E}a_{n}T^{n}\,}$

mit endlichem Träger ${\displaystyle {}E\subseteq M}$ und mit von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenen Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{n}\in K}$ derart, dass

${\displaystyle {}T^{m}{\left(\sum _{n\in E}a_{n}T^{n}\right)}=\sum _{n\in E}a_{n}T^{m+n}=1\,}$

ist. Für die letzte Gleichung müssen alle Exponenten

${\displaystyle {}n+m=0\,}$

${\displaystyle {}n\in M}$

${\displaystyle {}m\in M}$