(1). Die Multiplikation

${\displaystyle R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,}$

ist ${\displaystyle {}R'}$-bilinear und führt nach Fakt zu einer ${\displaystyle {}R'}$-linearen Abbildung

${\displaystyle R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.}$

Dies induziert nach Fakt  (2) und nach Fakt einen ${\displaystyle {}R}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.}$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

${\displaystyle R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},}$

die explizit durch

${\displaystyle {}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,}$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${\displaystyle {}R}$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${\displaystyle {}R'=R}$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${\displaystyle {}R\times M\rightarrow M}$ induziert eine ${\displaystyle {}R}$-lineare Abbildung

${\displaystyle R\otimes _{R}M\longrightarrow M.}$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${\displaystyle {}M\rightarrow R\otimes _{R}M}$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${\displaystyle {}M}$, so dass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Fakt  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${\displaystyle {}R}$-lineare Abbildung ${\displaystyle {}M\rightarrow R'\otimes _{R}M}$. Dies führt zu einer ${\displaystyle {}R}$-multilinearen Abbildung

${\displaystyle R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},}$

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${\displaystyle {}R'}$-lineare Abbildung

${\displaystyle R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.}$

Rechts steht ein ${\displaystyle {}R^{\prime \prime }}$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${\displaystyle {}R'}$-multilineare Abbildung

${\displaystyle R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M}$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${\displaystyle {}R'}$-linearen Abbildung

${\displaystyle R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M}$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${\displaystyle {}R^{\prime \prime }}$-Multiplikationen entsprechen.