Seien ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}}$ erzeugende Elemente von ${\displaystyle {}M}$. Dann ist insbesondere ${\displaystyle {}\varphi (y_{i})}$ für jedes ${\displaystyle {}i}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Linearkombination der ${\displaystyle y_{j},\,j=1,\ldots ,n}$, wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet

${\displaystyle {}\varphi (y_{i})=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,}$

mit ${\displaystyle {}r_{ij}\in {\mathfrak {a}}}$. Wir fassen den ${\displaystyle {}R}$-Modul ${\displaystyle {}M}$ zusammen mit dem Endomorpphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ als ein ${\displaystyle {}R[X]}$-Modul auf, wobei die Variable ${\displaystyle {}X}$ wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom ${\displaystyle {}F\in R[X]}$ und ${\displaystyle {}y\in M}$

${\displaystyle {}Fy=F(\varphi )(y)\,.}$

Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich

${\displaystyle {}X{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&.&.&r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&.&.&r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\r_{n,1}&r_{n,2}&.&.&r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Dies schreiben wir als

${\displaystyle {}0={\begin{pmatrix}X-r_{1,1}&-r_{1,2}&.&.&-r_{1,n}\\-r_{2,1}&X-r_{2,2}&.&.&-r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\-r_{n,1}&-r_{n,2}&.&.&X-r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Nennen wir diese Matrix ${\displaystyle {}A}$ (die Einträge sind aus ${\displaystyle {}R[X]}$), und sei ${\displaystyle {}A^{\operatorname {adj} }}$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${\displaystyle {}A^{\operatorname {adj} }Ay=0}$ (${\displaystyle {}y}$ bezeichne den Vektor ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$) und nach der Cramerschen Regel ist ${\displaystyle {}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}}$, also gilt ${\displaystyle {}((\det A)E_{n})y=0}$. Es ist also ${\displaystyle {}(\det A)y_{j}=0}$ für alle ${\displaystyle {}j}$ und damit

${\displaystyle {}(\det A)z=0\,}$

für alle ${\displaystyle {}z\in M}$. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${\displaystyle {}X}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$, und die Gleichheit bedeutet

${\displaystyle {}(\det A(\varphi ))z=0\,}$

für alle ${\displaystyle {}z\in M}$, also ist

${\displaystyle {}(\det A(\varphi ))=0\,}$

als Abbildungen. Die Zugehörigkeiten zu den Idealpotenzen ergeben sich aus der expliziten Beschreibung der Determinante.