Es sei

${\displaystyle {}M={\frac {1}{2}}(A+B)\,}$

der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ${\displaystyle {}u}$ ein zu ${\displaystyle {}{\overrightarrow {AB}}}$ senkrechter Vektor, so dass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich ${\displaystyle {}M+su}$ mit ${\displaystyle {}s\in \mathbb {R} }$ sind.

Es sei zunächst ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{2}}$ ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als

${\displaystyle {}P=M+su\,}$

ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

${\displaystyle {}d(P,A)^{2}=\Vert {P-A}\Vert ^{2}=\Vert {su-{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}=\Vert {su}\Vert ^{2}+\Vert {{\frac {1}{2}}(B-A)}\Vert ^{2}\,.}$

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für ${\displaystyle {}d(P,B)^{2}}$.

Es sei nun ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{2}}$ ein Punkt, der zu ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von ${\displaystyle {}P}$ zur Geraden durch ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ werde im Punkt ${\displaystyle {}Q}$ angenommen. Dann steht die Gerade durch ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ senkrecht auf der Geraden durch ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ und nach dem Satz des Pythagoras gilt

${\displaystyle {}d(P,A)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,A)^{2}\,}$

und entsprechend

${\displaystyle {}d(P,B)^{2}=d(P,Q)^{2}+d(Q,B)^{2}\,.}$

Nach Voraussetzung ist also

${\displaystyle {}d(Q,A)=d(Q,B)\,}$

und somit ist

${\displaystyle {}Q=M\,}$

der Mittelpunkt der Strecke von ${\displaystyle {}A}$ nach ${\displaystyle {}B}$.

${\displaystyle {}P}$