Es ist

${\displaystyle {}(2+5{\mathrm {i} })^{2}=4-25+20{\mathrm {i} }=-21+20{\mathrm {i} }\,.}$

Dies ist eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Linearkombination von ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$, nämlich

${\displaystyle {}-21+20{\mathrm {i} }=-29\cdot 1+4(2+5{\mathrm {i} })\,.}$

Daher ist

${\displaystyle Z^{2}-4Z+29}$

ein annullierendes Polynom von ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$. Wegen ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }\not \in \mathbb {Q} }$ kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.