a) Wegen ${\displaystyle {}S_{n}\subseteq T_{n}}$ gilt ${\displaystyle {}\supseteq }$. Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei ${\displaystyle {}x\in \bigcup _{i=1}^{n}T_{i}}$. Dann gibt es ein ${\displaystyle {}i}$ zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}n}$ mit ${\displaystyle {}x\in T_{i}}$ und damit auch ein minimales ${\displaystyle {}k}$ mit dieser Eigenschaft. Es ist also ${\displaystyle {}x\in T_{k}}$, aber ${\displaystyle {}x\not \in T_{i}}$ für ${\displaystyle {}i<k}$. Damit ist ${\displaystyle {}x\in T_{k}\setminus \bigcup _{i=1}^{k-1}T_{i}=S_{k}}$ und insbesondere ${\displaystyle {}x\in \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$.

b) Sei ${\displaystyle {}k\neq n}$ und sagen wir ${\displaystyle {}k<n}$.

${\displaystyle {}x\in S_{n}=T_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n-1}T_{i}}$

${\displaystyle {}x\in T_{n}}$

${\displaystyle {}x\not \in T_{i}}$

${\displaystyle {}i<n}$

${\displaystyle {}x\not \in T_{k}}$

${\displaystyle {}x\not \in S_{k}}$

${\displaystyle {}S_{n}}$

${\displaystyle {}S_{k}}$