Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}x-4&0&-3\\0&x+1&0\\-2&0&x-3\end{pmatrix}}\\&=(x-4)(x+1)(x-3)-6(x+1)\\&=(x+1)((x-4)(x-3)-6)\\&=(x+1)(x^{2}-7x+6).\end{aligned}}}$

Dies ergibt zunächst den Eigenwert ${\displaystyle {}-1}$. Durch quadratisches Ergänzen (oder direkt) sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}6}$, die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.

Eigenraum zu ${\displaystyle {}-1}$: Man muss die Lösungsmenge von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-5&0&-3\\0&0&0\\-2&0&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$, so dass der Eigenraum zu ${\displaystyle {}-1}$ gleich ${\displaystyle {}\lambda {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$ ist.

Eigenraum zu ${\displaystyle {}1}$: Man muss die Lösungsmenge von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-3&0&-3\\0&2&0\\-2&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}$, so dass der Eigenraum zu ${\displaystyle {}1}$ gleich ${\displaystyle {}\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}$ ist.

Eigenraum zu ${\displaystyle {}6}$: Man muss die Lösungsmenge von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&-3\\0&7&0\\-2&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}6}$

${\displaystyle {}\lambda {\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}}$