Die Bedingung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,}$

bedeutet ausgeschrieben

${\displaystyle {}xa+yc=1\,,}$

${\displaystyle {}xb+yd=0\,,}$

${\displaystyle {}za+wc=0\,,}$

${\displaystyle {}zb+wd=1\,.}$

Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind ${\displaystyle {}(a,c)\neq (0,0)}$ und ${\displaystyle {}(b,d)\neq (0,0)}$. Aus der zweiten Gleichung folgt nach Fakt, dass es ein ${\displaystyle {}s\in K}$ gibt mit

${\displaystyle {}x=sd\,}$

und

${\displaystyle {}y=-sb\,.}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich

${\displaystyle {}1=sda-sbc=s(da-bc)\,}$

und somit

${\displaystyle {}s={\frac {1}{da-bc}}\,}$

und

${\displaystyle {}x={\frac {d}{da-bc}}\,}$

und

${\displaystyle {}y=-{\frac {b}{da-bc}}\,.}$

Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein ${\displaystyle {}t\in K}$ gibt mit

${\displaystyle {}z=tc\,}$

und

${\displaystyle {}w=-ta\,.}$

Aus der vierten Gleichung ergibt sich

${\displaystyle {}1=tcb-tad=-t(da-bc)\,}$

und somit

${\displaystyle {}t=-{\frac {1}{da-bc}}\,}$

und

${\displaystyle {}z=-{\frac {c}{da-bc}}\,}$

und

${\displaystyle {}w={\frac {a}{da-bc}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}M\circ A&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {d}{da-bc}}&-{\frac {b}{da-bc}}\\-{\frac {c}{da-bc}}&{\frac {a}{da-bc}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\cd-cd&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$