Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

Die Ausdrucksmenge ${}\Gamma$ heißt widersprüchlich, wenn es einen Ausdruck ${}\alpha \in L^{V}$ mit ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \neg \alpha$ gibt.
Man nennt die Menge
${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$ .
Der Ausdruck ${}\alpha$ ${}\alpha$ heißt ableitbar, wenn er sich aus den Grundtautologien, also
durch sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln Modus Ponens und der Existenzeinführung im Antezedens erhalten lässt.
Die Funktion ${}F$ ${}F$ heißt repräsentierbar in ${}\Gamma$ ${}\Gamma$ , wenn es einen ${}L^{\rm {Ar}}$ ${}L^{\rm {Ar}}$ -Ausdruck ${}\psi$ ${}\psi$ in ${}r+s$ ${}r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${}(r+s)$ ${}(r+s)$ -Tupel ${}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ ${}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die folgenden Eigenschaften
1. Wenn ${}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ , so ist ${}\Gamma \vdash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ ,
2. Wenn ${}F(n_{1},\ldots ,n_{r})\neq (n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ , so ist ${}\Gamma \vdash \neg \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ ,
3. ${}\Gamma \vdash \exists !x_{r+1}\ldots \exists !x_{r+s}\psi (n_{1},\ldots ,n_{r},x_{r+1},\ldots ,x_{r+s})$ ,
gelten.
Das modallogische Axiomenschema
$\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$

nennt man Möglichkeitsaxiom.
Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ nennt man
${}\operatorname {Nachf} {\left(T\right)}={\left\{z\in M\mid {\text{ es gibt }}y\in T{\text{ mit }}yRz\right\}}\,$

die Nachfolgermenge zu ${}T$ .

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