Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

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Man sagt, dass ${}\alpha$ aus ${}\Gamma$ ableitbar ist, wenn es endlich viele Ausdrücke ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass
$\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$

gilt.
Die Relation ${}\preccurlyeq$ ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$ .
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$ .
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$ .
Man nennt ${}\alpha$ erfüllbar, wenn es eine ${}S$ -Interpretation ${}I$ mit ${}I\vDash \alpha$ gibt.
Zwei Elemente ${}m,n\in M$ heißen elementar äquivalent, wenn für jeden Ausdruck ${}\alpha \in L_{1}^{S}$ in der einen freien Variablen ${}x$ und jede Variablenbelegung ${}\lambda$ auf ${}M$ die Beziehung
$I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}I{\frac {n}{x}}\vDash \alpha$

gilt.
Eine Theorie ${}T\subseteq L_{0}^{S}$ heißt aufzählbar axiomatisierbar, wenn es eine ${}R$ -aufzählbare Satzmenge ${}\Gamma \subseteq L_{0}^{S}$ mit ${}T=\Gamma ^{\vdash }$ gibt.
Die Gültigkeit in einem modallogischen Rahmen bedeutet, dass für jede Wahrheitsbelegung ${}\mu$
$(M,R,\mu )\vDash \alpha$

gilt.

Zur gelösten Aufgabe

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