Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$ ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf ${\displaystyle {}M}$ explosiv, wenn es lediglich die Werte ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}\infty }$ annimmt.

a) Zeige, dass (für ${\displaystyle {}T\in {\mathcal {A}}}$) durch

${\displaystyle \gamma (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}T=\emptyset \,,\\\infty ,{\text{ falls }}T\neq \emptyset \,,\end{cases}}}$

b) Es sei ${\displaystyle {}\mu }$ ein Maß auf ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}})}$. Zeige, dass durch

${\displaystyle \lambda (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\mu (T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\mu (T)>0\,,\end{cases}}}$