Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ist ein ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$-Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension ${\displaystyle {}d}$ besitzt. Wenn

${\displaystyle {}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,}$

ist, so bilden die Restklassen eine Basis von ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ in ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch ${\displaystyle {}g_{n+1},\ldots ,g_{d}\in {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ zu einer Basis von ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente ${\displaystyle {}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}}$ repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt

${\displaystyle {}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,.}$

Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\,.}$

Sei zunächst wieder durch ${\displaystyle {}f_{n+1},\ldots ,f_{d}}$ eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ gegeben. Dann sind die Restklassen von ${\displaystyle {}f_{n+1},\ldots ,f_{d}}$ in ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals

${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}\,}$

von ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$. Damit ist die Einbettungsdimension von ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ gleich ${\displaystyle {}d-n}$ und somit ist nach Fakt die Dimension von ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ höchstens ${\displaystyle {}d-n}$. Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest ${\displaystyle {}d-n}$ nach Fakt. Wäre nämlich die Dimension von ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ gleich

${\displaystyle {}m<d-n\,,}$

so würde es Parameter

${\displaystyle {}g_{1},\ldots ,g_{m}\in R/{\mathfrak {a}}\,}$

geben, und diese würden zusammen mit den ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ in ${\displaystyle {}R}$ das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Fakt nicht sein kann.

Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ regulär der Dimension ${\displaystyle {}d-n}$ ist, so sei

${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}=(g_{n+1},\ldots ,g_{d})\,.}$

Diese ${\displaystyle {}g_{i}}$ werden durch ${\displaystyle {}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}}$ repräsentiert und die ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ erzeugen ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$.