Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Primideal von ${\displaystyle {}R}$. Der Restklassenmodul ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}}$ ist endlich erzeugt, deshalb gibt es nach Fakt  (2) eine endliche freie Auflösung

${\displaystyle 0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.}$

Wir tensorieren diese Sequenz mit der Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$. Da die Tensorierung mit einer Nenneraufnahme nach Fakt exakt ist, erhalten wir eine endliche freie Auflösung (über ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$)

${\displaystyle 0\longrightarrow F_{n}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{1}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow F_{0}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow 0.}$

Wegen

${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})\,}$

(nach Fakt  (2)) ist dies eine freie Auflösung des Restklassenkörpers von ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$. Nach Fakt  (3) ist somit ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ regulär.