Durch Umnummerieren kann man ${\displaystyle {}x=x_{1}}$ erreichen. Es sei ${\displaystyle {}G}$ die Gleichung

${\displaystyle {}ax_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}x_{i}=b\,}$

(mit ${\displaystyle a\neq 0}$) und ${\displaystyle {}H}$ die Gleichung

${\displaystyle {}cx_{1}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}x_{i}=d\,.}$

Dann hat die Gleichung

${\displaystyle {}H'=H-{\frac {c}{a}}G\,}$

die Gestalt

${\displaystyle {}\sum _{i=2}^{n}{\left(c_{i}-{\frac {c}{a}}a_{i}\right)}x_{i}=d-{\frac {c}{a}}b\,,}$

in der ${\displaystyle {}x_{1}}$ nicht mehr vorkommt. Wegen ${\displaystyle {}H=H'+{\frac {c}{a}}G}$ sind die Gleichungssysteme äquivalent.