Es sei vorausgesetzt, dass

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

ist. Dann gelten für ${\displaystyle {}w=Bv}$ mit ${\displaystyle {}B=(b_{ij})_{ij}}$ die Gleichungen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}w'(t)&={\begin{pmatrix}w_{1}'(t)\\\vdots \\w_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(b_{11}v_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v_{n}(t))'\\\vdots \\(b_{n1}v_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v_{n}(t))'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}b_{11}v'_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v'_{n}(t)\\\vdots \\b_{n1}v'_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v'_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=B{\begin{pmatrix}v_{1}'(t)\\\vdots \\v_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=BMB^{-1}{\begin{pmatrix}w_{1}(t)\\\vdots \\w_{n}(t)\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

so dass ${\displaystyle {}w}$ die Differentialgleichung

${\displaystyle {}w'=Nw\,}$

löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von ${\displaystyle {}w'=Nw}$ die Abbildung ${\displaystyle {}B^{-1}w}$ eine Lösung für ${\displaystyle {}v'=Mv}$ ist.