Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein inverses Element zu einem Element ${\displaystyle {}x\in M}$ bezüglich einer Verknüpfung

   ${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

   mit einem neutralen Element ${\displaystyle {}e\in M}$.

2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Die transponierte Matrix zu einer ${\displaystyle {}m\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}}$.
4. Der ${\displaystyle {}i}$-te Standardvektor im ${\displaystyle {}K^{n}}$.
5. Das Bidual zu einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Der Fixraum zu einem Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.