Die für ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}-1<t<1}$, und ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ definierte lineare Differentialgleichung

${\displaystyle y^{\prime \prime }-{\frac {2t}{1-t^{2}}}y'+{\frac {n(n+1)}{1-t^{2}}}y=0}$

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter ${\displaystyle {}n}$.