Bestimme für alle ${\displaystyle {}n\leq 30}$, ob das regelmäßige ${\displaystyle {}n}$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}n}$ zwischen ${\displaystyle {}100}$ und ${\displaystyle {}200}$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige ${\displaystyle {}n}$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Welche der Winkel

${\displaystyle 1^{\circ },\,2^{\circ },\,3^{\circ },\,4^{\circ },\ldots ,10^{\circ }}$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Welche der Winkel

${\displaystyle 10^{\circ },\,20^{\circ },\,30^{\circ },\,40^{\circ },\ldots ,350^{\circ }}$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Finde die kleinste Zahl ${\displaystyle {}n\geq 100}$ derart, dass zugleich das reguläre ${\displaystyle {}n}$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass ${\displaystyle {}n}$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

Sei ${\displaystyle {}p}$ eine Sophie-Germain-Primzahl und ${\displaystyle {}q=2p+1}$. Sei ${\displaystyle {}a}$ gegeben mit ${\displaystyle {}2\leq a\leq q-2}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ genau dann eine primitive Einheit modulo ${\displaystyle {}q}$ ist, wenn es kein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}q}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}p}$ eine Sophie-Germain-Primzahl, ${\displaystyle {}q=2p+1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}q}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}M_{p}+2=2^{p}+1}$ genau dann ist, wenn ${\displaystyle {}q=\pm 3\mod 8}$ ist.

Zeige: Für eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ ist die Mersennesche Zahl ${\displaystyle {}M_{p}}$ quasiprim zur Basis ${\displaystyle {}2}$.

Zeige, dass ${\displaystyle {}1105}$ und ${\displaystyle {}1729}$ Carmichael-Zahlen sind.

Sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl ${\displaystyle {}>3}$ mit der Eigenschaft, dass auch ${\displaystyle {}2p-1}$ und ${\displaystyle {}3p-2}$ prim sind. Zeige, dass dann

${\displaystyle n=p(2p-1)(3p-2)}$

eine Carmichael-Zahl ist.

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Sei ${\displaystyle {}p}$ eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass ${\displaystyle {}2}$ eine Primitivwurzel modulo ${\displaystyle {}q=2p+1}$ ist genau dann, wenn ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}n}$ eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass ${\displaystyle {}n}$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.

Sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass das Potenzieren

${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto a^{n},}$

genau dann die Identität ist, wenn ${\displaystyle {}n}$ eine Primzahl, eine Carmichael-Zahl oder gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.