Satz:

${\displaystyle x={\sqrt {2}}\Leftrightarrow x^{2}=2\rightarrow x\notin \mathbb {Q} }$

Beweis:

Der indirekte Beweis folgt aus der Annahme einer Zahl ${\displaystyle {}_{c}}$ mit

${\displaystyle \forall p,q\in \mathbb {N} \land \left(\operatorname {ggT} (p,q)=1\right):\ \exists c\in \mathbb {Q} :\ c={\frac {p}{q}}}$.

Daraus lassen sich die folgenden Schlüsse ziehen:

${\displaystyle \left(c^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow p^{2}=2\,q^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow r\in \mathbb {N} :\ p=2\,r}$

${\displaystyle \Rightarrow 2^{2}\,r^{2}=2\,q^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow 2\,r^{2}=q^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \operatorname {ggT} (p,q)>1}$.

Die ursprüngliche Annahme der Teilerfremdheit ${\displaystyle {}_{\operatorname {ggT} (p,q)=1}}$ wurde dadurch widerlegt, weshalb ${\displaystyle {}_{c\notin \mathbb {Q} }}$.

Definition:

Zahlen die nicht rational sind

${\displaystyle x\notin \mathbb {Q} }$

werden als irrationale Zahlen bezeichnet.

Definition:

Die Menge der reellen Zahlen

${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

ist die Vereinigungsmenge aller rationalen und aller irrationalen Zahlen. Die reellen Zahlen liegen beliebig dicht beisammen und repräsentieren daher alle Punkte auf der Zahlengeraden.

Satz:

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar mächtig.

Beweis:

Zweites Cantor`sches Diagonalverfahren