Ein topologischer Raum ${\displaystyle {}(X,{\mathcal {T}})}$ besteht aus einer Menge ${\displaystyle {}X}$ zusammen mit einer Teilmenge ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}}$ der Potenzmenge von ${\displaystyle {}X}$, die folgende strukturelle Bedingungen erfüllt (die Teilmengen ${\displaystyle U\subseteq X}$, die zu ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}}$ gehören, nennt man offene Mengen).

1. Die leere Menge und die ganze Menge ${\displaystyle {}X}$ sind offen (d.h. gehören zu ${\displaystyle {}{\mathcal {T}}}$).
2. Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit ${\displaystyle {}U_{1},\ldots ,U_{n}\in {\mathcal {T}}}$ ist auch ${\displaystyle {}U_{1}\cap \ldots \cap U_{n}\in {\mathcal {T}}}$.
3. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit ${\displaystyle {}U_{i}\in {\mathcal {T}}}$ für jedes ${\displaystyle {}i\in I}$ (zu einer beliebigen Indexmenge ${\displaystyle {}I}$) ist auch ${\displaystyle {}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}}$.

Eine stetige Abbildung

${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$

zwischen topologischen Räumen ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.

Eine stetige Abbildung

${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y}$

zwischen topologischen Räumen ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ heißt {{{1}}}, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle {}Y}$ eine Menge und

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

eine Abbildung. Dann ist das Mengensystem

${\displaystyle {\mathcal {T}}={\left\{V\subseteq Y\mid \varphi ^{-1}(V){\text{ ist offen in }}X\right\}}}$

eine Topologie auf ${\displaystyle {}Y}$, die die Bildtopologie von ${\displaystyle {}X}$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$ heißt.