Glatte Wege und Wegunterteilung

Die folgenden Definitionen wurden mit Kürzeln belegt und werden in Beweisen als Begründungen für Umformungen oder Folgerungen verwendet.

• (WG1) Definition (Weg glatt): Ein Weg ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} }$ heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist.
• (UT) Definition (Unterteilung): Sei ${\displaystyle [a,b]}$ ein Intervall, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {a}={u}_{0}<{\ldots }<{u}_{n}={b}}$. ${\displaystyle {\left({u}_{0},\ldots ,{u}_{n}\right)}\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ heißt dann Unterteilung von ${\displaystyle {\left[{a},{b}\right]}}$.
• (WG2) Definition (Wegunterteilung): Sei ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} }$ ein Weg in ${\displaystyle {U}\subseteq \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {n}\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {\left({u}_{0},\ldots ,{u}_{n}\right)}}$ eine Unterteilung von ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle \gamma _{k}:{\left[{u}_{{k}-{1}},{u}_{k}\right]}\to \mathbb {C} }$ für alle ${\displaystyle {k}\in {\left\lbrace {1},\ldots ,{n}\right\rbrace }}$ ein Weg in ${\displaystyle {U}}$. ${\displaystyle {\left(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}\right)}}$ heißt Wegunterteilung von ${\displaystyle \gamma }$, wenn gilt ${\displaystyle \gamma _{n}{\left({b}\right)}=\gamma {\left({b}\right)}}$ und ${\displaystyle \forall _{{k}\in {\left\lbrace {1},\ldots ,{n}\right\rbrace }}\forall _{{t}\in {\left[{u}_{{k}-{1}},{u}_{k}\right)}}:\gamma _{k}{\left({t}\right)}=\gamma {\left({t}\right)}\wedge \gamma _{k}{\left({u}_{{k}-{1}}\right)}=\gamma _{{k}-{1}}{\left({u}_{k}\right)}}$.
• (WG3) Definition (Weg stückweise glatt): Ein Weg ${\displaystyle \gamma :{\left[{a},{b}\right]}\to \mathbb {C} }$ heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung ${\displaystyle {\left(\gamma _{1},\ldots \gamma _{n}\right)}}$ aus glatten Wegen ${\displaystyle \gamma _{k}}$ für alle ${\displaystyle {k}\in {\left\lbrace {1},\ldots ,{n}\right\rbrace }}$ existiert.

Integrationsweg

• (WG4) Definition (Wegintegral): Sei ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ eine stetige Funktion und ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: ${\displaystyle \int _{\gamma }f:=\int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)\,dt}$. Ist ${\displaystyle \gamma }$ nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung ${\displaystyle (\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n})}$, dann definiert man ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}f(z)\,dz}$.
• Definition (Integrationsweg): Ein Integrationsweg ist ein stückweise glatter (stückweise stetig differenzierbarer) Weg.

Beispiel

Integrationsweg auf dem Dreiecksrand

Der folgende Weg ist stückweise stetig differenzierbar (glatt) und für die Ecken ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in {\text{Spur}}(\gamma )}$ ist der geschlossene Dreiecksweg ${\displaystyle \gamma :[0,3]\to \mathbb {C} }$ nicht differenzierbar. Der Dreiecksweg ist auf dem Intervall ${\displaystyle [0,3]}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \gamma (t):=\left\langle z_{1},z_{2},z_{3}\right\rangle (t):={\begin{cases}(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}&{\text{für }}t\in [0,1]\\(2-t)\cdot z_{2}+(t-1)\cdot z_{3}&{\text{für }}t\in (1,2]\\(3-t)\cdot z_{3}+(t-2)\cdot z_{1}&{\text{für }}t\in (2,3]\\\end{cases}}}$

Der stückweise stetig differenzierbare Weg ist aus Konvexkombinationen entstanden. Die Teilwege

• ${\displaystyle \gamma _{1}:=\left\langle z_{1},z_{2}\right\rangle }$ mit ${\displaystyle \gamma _{1}:[0,1]\to \mathbb {C} ,\ (1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}}$
• ${\displaystyle \gamma _{2}:=\left\langle z_{2},z_{3}\right\rangle }$ mit ${\displaystyle \gamma _{2}:[1,2]\to \mathbb {C} ,\ (2-t)\cdot z_{2}+(t-1)\cdot z_{3}}$
• ${\displaystyle \gamma _{3}:=\left\langle z_{3},z_{1}\right\rangle }$ mit ${\displaystyle \gamma _{3}:[2,3]\to \mathbb {C} ,\ (3-t)\cdot z_{3}+(t-2)\cdot z_{1}}$

sind stetig differenzierbar.

Siehe auch

• Lemma von Goursat
• Konvexkombination
• Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene