Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Reflexivität einer Relation ${\displaystyle {}R}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
2. Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition/Begriff
3. Die kanonische Projektion zu einer Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
4. Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition/Begriff
5. Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition/Begriff
6. Graph/Knotenüberdeckung/Definition/Begriff

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Zeige, dass für natürliche Zahlen die folgenden Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}1\,{|}\,a}$ und ${\displaystyle {}a\,{|}\,a}$.
2. Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}a\,{|}\,0}$.
3. Gilt ${\displaystyle {}a\,{|}\,b}$ und ${\displaystyle {}b\,{|}\,c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a\,{|}\,c}$.
4. Gilt ${\displaystyle {}a\,{|}\,b}$ und ${\displaystyle {}c\,{|}\,d}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac\,{|}\,bd}$.
5. Gilt ${\displaystyle {}a\,{|}\,b}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac\,{|}\,bc}$ für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}c}$.
6. Gilt ${\displaystyle {}a\,{|}\,b}$ und ${\displaystyle {}a\,{|}\,c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a\,{|}\,{\left(rb+sc\right)}}$ für beliebige natürliche Zahlen ${\displaystyle {}r,s}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}1085}$ und ${\displaystyle {}806}$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Wir betrachten auf der Menge ${\displaystyle {}C}$ aller stetigen Funktionen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ die folgende Relation: Es ist ${\displaystyle {}f\sim g}$, falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion ${\displaystyle {}\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {}f=g\cdot \alpha \,}$

gibt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass aus ${\displaystyle {}f\sim g}$ folgt, dass die Nullstellenmenge von ${\displaystyle {}f}$ und von ${\displaystyle {}g}$ übereinstimmen.
3. Zeige, dass die beiden Funktionen

   ${\displaystyle {}f(x)=x\,}$

   und

   ${\displaystyle {}g(x)=x^{2}\,}$

   nicht zueinander äquivalent sind.