\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mathl{a \in {\mathbb C}}{} der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}[X]} { {\mathbb C}
} {X} {a
} {,}
mit der
Evaluationsabbildung
\zusatzklammer {in den
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathlk{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathfrak n}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Es sei $R_{\mathfrak n}$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
von $R$ an ${\mathfrak n}$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ {\mathfrak n} R_{\mathfrak n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das maximale Ideal von $R_{\mathfrak n}$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak n}
}
{ = }{R_{\mathfrak n} /{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es auf ihr Punkte
\mathl{P_1,P_2,P_3 \in C}{} gibt, deren
\definitionsverweis {Einbettungsdimensionen}{}{}
gleich $1,2,3$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{H(X) \in K[X]}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{Y-H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $H$, aufgefasst als
\definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(a,b)
}
{ =} { (a, H(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Punkt des Graphen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
von $C$ in $P$ gleich $1$ ist.
} {Zeige, dass die
\definitionsverweis {Tangente}{}{}
in $P$ an $C$ mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt $a$ übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_m
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_\ell ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1 , \ldots , G_n
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_m ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome, die zu den
\definitionsverweis {polynomialen Abbildungen}{}{}
\mathdisp {{ {\mathbb A}_{ K }^{ \ell } } \stackrel{F}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } \stackrel{G}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} { }
Anlass geben. Es seien
\mathkor {} {J (F)_P} {und} {J (G)_Q} {}
die durch
\definitionsverweis {formales partielles Ableiten}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{.}
Beweise die formale Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J ( G \circ F)_P
}
{ =} { J(G)_{F(P)} \circ J(F)_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass formales
\definitionsverweis {partielles Ableiten}{}{}
auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} bezüglich einer Variablen und
\definitionsverweis {Dehomogenisieren}{}{}
bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
} {Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{H \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein
\zusatzklammer {in der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e H
}
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch
\mathl{y = 2x^4+3x^2-x+1}{} gegebene Kurve mit dem Punkt
\mathl{P=(1,5)}{.} Finde eine Koordinatentransformation derart, dass $P$ zum Punkt $(0,0)$ wird und die Tangente an $P$ zur $x$-Achse.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $K$ ein Körper und
\mathl{F \in K[X,Y]}{} ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger ebener Kurve
\mathl{C=V(F)}{.} Zeige, dass $C$ nur endlich viele singuläre Punkte besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 22.12.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cercle tangente rayon.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cercle tangente rayon.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Einheitskreis über einem Körper der Charakteristik $\neq 2$ glatt ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der Tangente.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $K$ ein Körper.
a) Zeige, dass der Graph eines Polynoms
\mathl{F\in K[X]}{} eine glatte algebraische Kurve ist.
b) Seien
\mathl{F,G \in K[X]}{} Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der rationalen Funktion $F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
\mathdisp {V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) } \subset {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die beiden reellen Kurven
\mathdisp {V(X^5-X^3+2XY+7Y^2-9)} { }
im Punkt
\mathl{(1,1)}{} und
\mathdisp {V(X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7X)} { }
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Sei $K$ ein Körper der Charakteristik
\mathl{p \geq 0}{.} Man charakterisiere die Polynome
\mathl{F\in K[X,Y]}{} mit der Eigenschaft, dass
\aufzaehlungdrei{die erste partielle Ableitung,
}{die zweite partielle Ableitung,
}{beide partiellen Ableitungen
}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die Kurve
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY+1 \right) }}{} die singulären Punkte über $\R$ und über ${\mathbb C}$. Man gebe jeweils die Multiplizität und die Tangenten an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathl{G,H \in K[X,Y]}{} Polynome mit
\mathl{G(P)=H(P)=0}{} für einen bestimmten Punkt
\mathl{P \in {\mathbb A}^{2}_{K}}{.} Es sei
\mathl{F=GH}{.} Zeige, dass jede Tangente von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Tangenten im Nullpunkt.
}{Zeige, dass
\mathl{P=(1,2)}{} ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung.
}{Führe eine Variablentransformation durch derart, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die algebraische Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Singularitäten sowie deren Multiplizitäten und Tangenten.
}
{\zusatzklammer {Vergleiche dazu
Beispiel 8.5.} {} {}} {}
| << | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >> |
|---|