${\displaystyle {}f'(x)=3x^{2}+2x-4\,.}$

${\displaystyle {}f(2)=7\,}$

und

${\displaystyle {}f'(2)=12\,.}$

Die Gleichung für die Tangente an diesem Punkt ist also

${\displaystyle {}t(x)=12(x-2)+7=12x-17\,.}$

${\displaystyle {}x^{3}+x^{2}-4x+3=12x-17\,}$

bzw.

${\displaystyle {}x^{3}+x^{2}-16x+20=0\,.}$

Die Nullstelle ${\displaystyle {}2}$ und damit der Faktor ${\displaystyle {}x-2}$ ist bereits bekannt. Es ist (Division mit Rest)

${\displaystyle {}x^{3}+x^{2}-16x+20=(x-2)(x^{2}+3x-10)=(x-2)(x-2)(x+5)\,.}$

Die beiden Schnittpunkte sind also ${\displaystyle {}(2,7)}$ und ${\displaystyle {}(-5,-77)}$.

${\displaystyle {}t}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{-5}^{2}f(x)-t(x)dx&=\int _{-5}^{2}x^{3}+x^{2}-16x+20dx\\&=\left({\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-8x^{2}+20x\right)|_{-5}^{2}\\&={\frac {1}{4}}2^{4}+{\frac {1}{3}}2^{3}-8\cdot 2^{2}+20\cdot 2-{\left({\frac {1}{4}}(-5)^{4}+{\frac {1}{3}}(-5)^{3}-8(-5)^{2}+20(-5)\right)}\\&=4+{\frac {8}{3}}-32+40-{\frac {625}{4}}+{\frac {125}{3}}+200+100\\&=312+{\frac {133}{3}}-{\frac {625}{4}}\\&={\frac {3744+532-1875}{12}}\\&={\frac {2401}{12}}.\end{aligned}}}$