Wir setzen

${\displaystyle {}S:=\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\subseteq R_{p}\subseteq \mathbb {C} \,.}$

Das ${\displaystyle {}p}$-te Kreisteilungspolynom zerfällt

${\displaystyle {}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=\prod _{k=1}^{p-1}(X-\zeta ^{k})\,,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ und auch über ${\displaystyle {}S}$. Für ${\displaystyle {}X=1}$ ergibt sich speziell die Gleichung

${\displaystyle {}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})\,.}$

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist

${\displaystyle {}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{k-1}\,}$

und dieses Element gehört zu ${\displaystyle {}S}$. Da ${\displaystyle {}k}$ zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}p-1}$ ist, gibt es jeweils ein ${\displaystyle {}\ell }$ mit ${\displaystyle {}k\cdot \ell =1\mod p}$. Wegen ${\displaystyle {}\zeta ^{p}=1}$ und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{k}}}&={\frac {1-\zeta ^{k\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&={\frac {1-(\zeta ^{k})^{\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&=1+\zeta ^{k}+(\zeta ^{k})^{2}+\cdots +(\zeta ^{k})^{\ell -1}\end{aligned}}}$

gehört dieses Element ebenfalls zu ${\displaystyle {}S}$, d.h. die Elemente ${\displaystyle {}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}}$ sind Einheiten in ${\displaystyle {}S}$. Deshalb ist

${\displaystyle {}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})=\prod _{k=1}^{p-1}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}(1-\zeta )=u\cdot (1-\zeta )^{p-1}\,}$

mit einer Einheit ${\displaystyle {}u}$ aus ${\displaystyle {}S}$. Deshalb gilt in ${\displaystyle {}S}$ und damit auch im ganzen Abschluss ${\displaystyle {}R_{p}}$ die Idealgleichheit ${\displaystyle {}(p)=((1-\zeta )^{p-1})}$.

Im ganzen Abschluss liegt nach Fakt eine Idealzerlegung

${\displaystyle {}(1-\zeta )={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}\,}$

vor und daher gilt dort

${\displaystyle {}(p)=((1-\zeta )^{p-1})={\mathfrak {p}}_{1}^{p-1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{p-1}\,.}$

Da der Grad der Erweiterung gleich ${\displaystyle {}p-1}$ ist, folgt direkt ${\displaystyle {}r=1}$ und somit, dass ${\displaystyle {}(1-\zeta )}$ ein Primideal ist, und zwar das einzige über ${\displaystyle {}(p)}$.